100以内的质数
2：质数的定义及特性
质数是指只能被1和自身整除的正整数。质数具有以下特性：
1. 质数只有1和自身两个因数；
2. 任意一个正整数都可以唯一分解成一些质数的积，这就是质因数分解定理。
质数在数学中拥有着重要的地位。人们常常利用质数的特性来解决很多数学问题，如素数定理、费马大定理等。
3：素数在密码学中的应用
密码学是保障信息安全的重要领域之一。其中，素数的应用尤为广泛。在RSA加密算法中，需要使用两个非常大的质数来生成密钥。因为质数很难被分解，所以这种算法非常安全。
4：素数的筛法
素数的存在可以用筛法来判断。具体过程如下：
1. 先构造一个自然数序列，从2开始；
2. 把序列中的第一个数2标记为素数；
3. 把序列中所有2的倍数都标记为合数；
4. 找到第一个没有被标记的数，如果这个数大于序列的一半，则所有未标记的数都是素数；否则，把这个数标记为素数，并把它的倍数标记为合数；
5. 不断重复步骤4，直到序列中所有的数都被标记过了。
5：小质数定理
小质数定理是一个广泛应用于数论的结论，可以用来判断某个数是否为质数。具体定理如下：
如果$p$是一个质数，$a$是任意一个整数且$a 利用小质数定理可以判断某个数是否为质数，也可以用于判断某个数是不是质数的概率。但是，该定理并不能直接用于求解质数，因为需要选择合适的$a$才能得到正确的结果。 6：欧拉定理 欧拉定理是一条关于模运算的定理，它与小质数定理有类似之处。欧拉定理如下： 设$a$和$n$是两个正整数，且$a$、$n$互质，则有$a^{varphi(n)} equiv 1 pmod n$。 其中，$varphi(n)$表示小于$n$的正整数中与$n$互质的数的个数。欧拉定理在密码学中也有广泛的应用，例如用于RSA加密算法中。 7：欧拉筛法 欧拉筛法是一种高效的判断质数的方法。具体步骤如下： 1. 开始时候令$x=1$，用$prime$数组记录素数； 2. 依次枚举小于$n$的所有自然数$x$； 3. 对于$x$每遍历一轮，便会找到一个素数$p$。将$p$加入$prime$数组中； 4. 如果$x$没有被$p$整除，则令$xp$为下一个需要遍历的自然数，因为$xp$是合数，所以直接跳过； 5. 如果$x$被$p$整除，则不需要再使用$xp$，直接停止进行下一轮的遍历。 欧拉筛法的时间复杂度为$O(n log log n)$，是一种高效的质数筛法。
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